题目内容

7．将一张足够大的正方形纸片，按如图所示虚线剪成四个大小形状一样的正方形，然后将其一个正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如此循环下去，并统计每次剪后正方形的个数．
（1）根据统计结果填写下表，并根据规律写出S与n的关系式：
剪的次数（n）　1234…n
正方形个数（n）    … 
（2）运用（1）中总结的公式计算要剪出100个正方形，共要剪几次？能不能将原来的正方形剪出2015个小正方形？为什么？
（3）若原正方形的边长为1，第n次所剪出的正方形的边长是多少？

分析 （1）分别计算得出答案发现：每剪一次，就是在4个正方形的基础上增加3个，则第n次共有4+3（n-1）=3n+1个正方形；
（2）利用（1）中的计算方法建立方程求得答案即可；
（3）每剪依次边长就是原来的一半，由此进一步得出答案即可．

解答 解：（1）填表如下：

的次数（n）　1234…n
正方形个数（n）4 7 10 13 …S=3n+1 
（2）3n+1=100，解得n=33，
所以剪出100个正方形，共要剪33次；
3n+1=2015，解得n=671$\frac{1}{3}$，
n是正整数，所以不能将原来的正方形剪出2015个小正方形；
（3）n=1时，边长=$\frac{1}{2}$；
n=2时，边长=$\frac{1}{{2}^{2}}$；
n=3时，边长=$\frac{1}{{2}^{3}}$；
…；
剪n次时，边长=$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．

练习册系列答案
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