Question

5．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠1=∠2=90°，AB=AC，AD=AE．△ADE可以绕点A旋转．
（1）BD与CE具有怎样的位置关系和数量关系？并证明你的结论．
（2）当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可求得△CAE≌△BAD，求得∠ACF=∠ABD．因为∠ANC=∠BNF，根据三角形的内角和定理就可求得∠BFN=∠NAC=90°，从而证得BD⊥CE；
（2）根据已知条件求得∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．在Rt△ACN中，通过解直角三角形从而求得AN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．进而求得BN=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$． 在Rt△ACN中通过解直角三角形求得NF=$\frac{1}{2}$．即可求得CF=CN+NF=1+$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：如图
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，BD=CE
∵∠ANC=∠BNF，
∴∠BFN=∠NAC=90°，
∴BD⊥CE；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∵∠BCE=15°，
∴∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．
在Rt△ACN中
∵∠NAC=90°，AC=2，∠ACN=30°，
∴AN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC=2，
∴BN=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△ACN中
∵∠BFN=90°，∠FBN=30°，
∴NF=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=CN+NF=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，角的平分线的判定等知识点，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键．