Question

10．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC，M为AC中点，BD=CE，判断△DME的形状．

Answer 1

分析 连接BM，由△ABC等腰直角三角形，M为AC中点，得出∠C=45°，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，BM=$\frac{1}{2}$AC=CM，BM⊥AC，得出∠BME+∠CME=90°，再证明△BDM≌△CEM，得出MD=ME，∠BMD=∠CME，证出∠DME=90°，即可得出结论．

解答 解：△DME是等腰直角三角形；理由如下：
连接BM，如图所示：
∵∠ABC=90°，AB=BC，M为AC中点，
∴∠C=45°，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，BM=$\frac{1}{2}$AC=CM，BM⊥AC，
∴∠CMB=90°，
即∠BME+∠CME=90°，
在△BDM和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CM}&{\;}\\{∠DBM=∠C=45°}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CEM（SAS），
∴MD=ME，∠BMD=∠CME，
∴∠BME+∠BMD=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．