Question

6．已知，△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接DF与EF．
（1）如图1，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如图2，连接DE，若AB=5cm，BC=6cm，请直接写出图中所有长为3cm的线段和四边形ADFE的面积．

Answer 1

分析 （1）求出AF⊥BC，根据直角三角形的性质求出AD=DF，根据三角形的中位线求出AD=EF，AE=DF，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据三角形的中位线性质得出长为3cm的线段即可；求出△ABC的面积，求出S_{四边形ADFE}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即可求出答案．

解答 （1）证明：连接AF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵D为AB中点，
∴AD=BD=DF，
∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=AD，DF=$\frac{1}{2}$AC=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AD=DF，
∴四边形ADFE为菱形；

（2）解：长度为3cm的线段有DE，BF，CF，
理由是：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，BC=6cm，
∴DE=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=3cm；
∵∠AFB=90°，
∴在Rt△AFB中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AF$=$\frac{1}{2}×6×4$=12（cm²），
∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴S_△AFD=S_△BFD=$\frac{1}{2}$S_△AFB，S_△AFE=S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△AFC，
∴S_{四边形ADFE}=S_△AFD+S_△AFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12cm²=6cm²，
即四边形ADFE的面积为6cm²．

点评 本题考查了勾股定理，三角形的中位线性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：等底等高的三角形的面积相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．