Question

1．如图，在边长为6的等边△ABC中，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB上，则BE+EF的最小值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过C作CF⊥AB于F，交AD于E，连接BE，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BE+EF最小，由于C和B关于AD对称，则BE+EF=CF，根据勾股定理求出CF，即可求出答案．

解答 解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，连接BE，则BE+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BE+EF=CF，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CE=BE，
即BE+EF=CE+EF=CF，
∵CF⊥AB，
∴∠CNB=90°，CF是∠ACB的平分线，AF=BF（三线合一），
∵∠ACB=60°，
∴∠BCF=30°，
∵AB=6，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=3，
在△BCF中，由勾股定理得：CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，即BE+EF的最小值是3$\sqrt{3}$．
故答案为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．