Question

11．已知在平面直角坐标系中，点A（-1，0）和C（1，1），动点D（t，t）（点D与点C不重合），二次函数y=ax²-4ax+c的图象与x轴相交于点A和B．
（1）设二次函数y=ax²-4ax+c的顶点为P，若点P与点D关于x轴对称，求此二次函数的解析式．
（2）在D运动时，若在坐标轴上找一点Q，使△QCD为直角三角形，这样的点Q有且仅有4个，求满足条件的t的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）可先求出点P的横坐标，从而可求出点D的坐标，然后把点A、D的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）只需先考虑几个临界位置（①点D在原点，②点D在线段OC上，且以CD为直径的圆与坐标轴相切，③点D在线段OC的延长线上，且以CD为直径的圆与坐标轴相切），然后结合图象就可解决问题．

解答 解：（1）由题意得：点P的横坐标为-$\frac{-4a}{2a}$=2．
∵点P与点D关于x轴对称，
∴点D的横坐标为2，
∴t=2，
∴点D（2，2）．
把点A（-1，0），D（2，2）代入y=ax²-4ax+c得：$\left\{\begin{array}{l}{a+4a+c=0}\\{4a-8a+c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{c=-\frac{10}{9}}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{8}{9}$x-$\frac{10}{9}$；

（2）①当点D在原点时，
以点C为直角顶点的点Q有两个，
以点D为直角顶点的点Q不存在，
以点Q为直角顶点的点Q有两个（此时点Q是以CD为直径的圆与坐标轴的交点），
∴当点D在原点时，使△QCD为直角三角形的点Q有且仅有4个，此时t=0；
②当点D在线段OC上，且以CD为直径的⊙E与坐标轴相切时，如图1，

以点C为直角顶点的点Q有两个，
以点D为直角顶点的点Q有两个，
以点Q为直角顶点的点Q有两个（此时点Q是以CD为直径的圆与坐标轴的交点），
∴使△QCD为直角三角形的点Q有且仅有6个，此时点E到坐标轴的距离EH等于⊙E的半径EC，则有
$\frac{\sqrt{2}（1-t）}{2}$=$\frac{t+1}{2}$，
解得t=3-2$\sqrt{2}$；
③当点D在线段OC延长线上，且以CD为直径的⊙E与坐标轴相切时，如图2，

以点C为直角顶点的点Q有两个，
以点D为直角顶点的点Q有两个，
以点Q为直角顶点的点Q有两个（此时点Q是以CD为直径的圆与坐标轴的交点），
∴使△QCD为直角三角形的点Q有且仅有6个，此时点E到坐标轴的距离EH等于⊙E的半径EC，则有
$\frac{\sqrt{2}（t-1）}{2}$=$\frac{t+1}{2}$，
解得t=3+2$\sqrt{2}$．
结合图象可得：满足条件的t的取值范围是3-2$\sqrt{2}$＜t＜3+2$\sqrt{2}$或t=0．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线的对称轴、两点关于x轴对称、直线与圆相切、圆周角定理等知识，运用分类讨论的思想和临界值法是解决第（2）小题的关键．