Question

2．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=10海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=$\frac{3}{5}$．
（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE-AE即可求解；
（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF²=CB²-BF²=25²-x²=625-x²．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．

解答 解：（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴cosD=$\frac{DE}{CD}=\frac{3}{5}$，
∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B点是CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$CD=25（海里）
∴AB=BE-AE=25-10=15（海里）．
答：小岛两端A、B的距离为15海里．
（2）设BF=x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，
∴CF²=CB²-BF²=25²-x²=625-x²．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，
∴CF²+EF²=CE²，即625-x²+（25+x）²=1600．
解得x=7．
∴sin∠BCF=$\frac{BF}{BC}=\frac{7}{25}$．

点评 考查了解直角三角形的应用，关键是熟悉三角函数的知识和勾股定理，同时涉及到方程思想．