Question

19．梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S_△ABO=p，S_△CDO=q，求S_ABCD．

Answer 1

分析 由平行线得出△AOD∽△COB，得出面积比等于相似比的平方，求出OA：OC，得出△DOC的面积和△AOB的面积，即可得出梯形ABCD的面积．

解答 解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△COD}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{p}{q}$，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}$，
∵$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}$，
∴S_△AOD=$\frac{1}{\sqrt{pq}}$=$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$，
∴S_△BOC=S_△AOD=$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$，
∴梯形ABCD的面积=S_△DOC+S_△AOB+S_△COB+S_△AOD=q+p+$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$+$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$=p+q+$\frac{2\sqrt{pq}}{pq}$．

点评 本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积关系；熟练掌握梯形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．