Question

 如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（＞）图象上， OB=（OC＞OA）．

（1）求点B的坐标；

（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒2个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒1个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．当运动时间为秒时，在x轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点B在反比例函数（＞0）图象上，

∴可设点B坐标为（，），

∵OB=，∴。

∵OC＞OA，∴点B坐标为（4，1）。

（2）存在，

∵运动时间为t=，动点E的速度为每秒2个单位，点F 的速度为每秒1个单位，

∴AE=1， BF。

∴点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，）。

如图，作F点关于轴的对称点F₁，得F₁（4，），经过点E、F₁作直线，

由E（1，1），F₁（4，）可得直线EF₁的解析式是，

当时，，∴P点的坐标为（3，0）。

【考点】反比例函数综合题，双动点问题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的应用（最短线路问题）。