Question

 如图，菱形ABCD中，边长为2，∠B=60°，将△ACD绕点C旋转，当AC（即A′C）与AB交于一点E，CD（即CD′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF。试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值。

Answer 1

解：△AEF的周长存在最小值。理由如下：

            根据菱形和旋转的性质，以及∠B=60°，可得△ABC，△ACD和△A′CD′是等边三角形，

∴∠BCA=∠BCE+∠ACE=60°，∠ECF=∠ACF+∠ACE=60°。∴∠BCE=∠ACF。

在△BCE与△ACF中，BC=AC，∠EBC=∠FAC=60°，∠BCE=∠ACF，

∴△BCE≌△ACF（ASA）。∴BE=AF，CE=CF，AE+AF=AE+BE=AB。

∵∠ECF=60°，故△ECF是等边三角形，EF=CF。

∵CF的最小值为点C到AD的距离（如图），∴EF的最小值是。

∵△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，∴△AEF的周长的最小值为2+。

【考点】旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到直线距离的性质。