Question

11．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P、Q是对角线BD上的两个点，请在题目中添加合适的条件，就可以证明：AP=CQ．
（1）你添加的条件是BP=DQ；
（2）请你根据题目中的条件和你添加的条件证明AP=CQ．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，得出∠ABP=∠CDQ，由SAS证明△ABP≌△CDQ，即可得出结论；
（2）同（1）．

解答 （1）解：添加条件BP=DQ；理由如下：
：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABP=∠CDQ}&{\;}\\{BP=DQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴AP=CQ．
故答案为：BP=DQ；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABP=∠CDQ}&{\;}\\{BP=DQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴AP=CQ．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．