Question

14．已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于点C，顶点为P，则：
（1）S_△AOC=$\frac{3}{2}$；
（2）S_△BOC=$\frac{9}{2}$；
（3）S_△ABC=6；
（4）S_△COP=$\frac{3}{2}$；
（5）S_△PAB=8；
（6）S_△PCB=3；
（7）S_△ACP=1；
（8）若D为抛物线上的一动点（点D与点C不重合），且S_△ABD=S_△ABC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 根据抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于点C，顶点为P，可以分别求得点A、B、C、P的坐标，从而可以求得各三角形的面积，第（8）问中两个三角形面积相等，可知两个三角形以AB为底边，高相等，从而可以求得点D的坐标．

解答 解：将y=0代入y=-x²+2x+3，得-x²+2x+3=0，
解得，x=-1或x=3，
即点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），
将x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3，
即点C的坐标为（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点P的坐标为（1，4），
∴（1）${S}_{△AOC}=\frac{AO•OC}{2}=\frac{1×3}{2}=\frac{3}{2}$，
（2）${S}_{△BOC}=\frac{BO•OC}{2}=\frac{3×3}{2}=\frac{9}{2}$，
（3）${S}_{△ABC}=\frac{AB•OC}{2}=\frac{4×3}{2}=6$，
（4）${S}_{△COP}=\frac{3×1}{2}=\frac{3}{2}$，
（5）${S}_{△PAB}=\frac{4×4}{2}=8$，
（6）${S}_{△PCB}=\frac{（3+4）×1}{2}+\frac{2×4}{2}-\frac{3×3}{2}$=3，
（7）${S}_{△ACP}=\frac{1×3}{2}+\frac{（3+4）×1}{2}-\frac{2×4}{2}$=1，
故答案为：$\frac{3}{2}，\frac{9}{2}，6，\frac{3}{2}，8，3，1$．
（8）∵S_△ABD=S_△ABC，D为抛物线上的一动点（点D与点C不重合），
∴将y=3代入y=-x²+2x+3，得x=2或x=0（舍去），
将y=-3代入y=-x²+2x+3，得$x=1+\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$，
即点D的坐标为（2，3）或（$1+\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．