Question

17．如图，AB为⊙O的直径，D为半圆的中点，DE⊥弦BC于E，连接BD，OE．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）若BE=2，OE=$\sqrt{2}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、OC，要证OE⊥CD，只要证DE=EC，OE平分∠DEC，由D为半圆的中点，DE⊥弦BC于E，易得△DOE≌△COE，进而得出结论；
（2）作OH⊥EC，运用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）证明：连接OD、OC，
∵D为半圆的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$
∴∠A=∠BCD=45°
∵DE⊥BC
∴∠CED=90°
∴∠CDE=∠DCE
∴CE=DE
在△DOE和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{OD=OC}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△COE，
∴∠DEO=∠CEO
∴OE⊥CD；
（2）作OH⊥EC，
∵∠OEH=45°，OE=$\sqrt{2}$，
∴OH=EH=1
∵BE=2，
∴BH=3
∴BO=$\sqrt{10}$
∵∠ABD=45°OD⊥AB
∴△BOD是等腰直角三角形
∴BD=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，有一定的综合性，难度适中．