Question

7．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4-2$\sqrt{3}$，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．

解答 解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示，
在△BCE和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGC=∠EBC=90°}\\{∠ACF=∠BCE}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCF（AAS），
∴CG=BC=2$\sqrt{3}$，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2+}B{C}^{2}}$=4，
∴AG=4-2$\sqrt{3}$，
∵△AGF∽△CBA
∴$\frac{AG}{CB}=\frac{AF}{CA}=\frac{GF}{AB}$，
∴AF=$\frac{4（4-2\sqrt{3}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}-12}{3}$，
FG=$\frac{2（4-2\sqrt{3}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}-6}{3}$，
∴AE=2-$\frac{4\sqrt{3}-6}{3}$=$\frac{12-4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE+AF=$\frac{12-4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{8\sqrt{3}-12}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．