Question

7．把两个含有45°角的等腰直角三角板直角顶点重合放在一起，如图所示，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC，AC=BC
（1）请你在图中连接两条线段，构造两个全等三角形．
（2）连接的这两条线段相等吗？垂直吗？

Answer 1

分析 （1）连接AE、BD，先求出∠ACE=∠BCD，由SAS即可证明△ACE≌△BCD；
（2）由△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠CAE=∠CBD，再由∠CBD+∠BMC=90°，∠BMC=∠AMD，证出∠ANM=90°，即可得出AE⊥BD．

解答 解：（1）连接AE、BD，如图所示：△ACE≌△BCD；
理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\\{EC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE=BD，AE⊥D；理由如下：
由（1）得：△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，
∵∠CBD+∠BMC=90°，∠BMC=∠AMD，
∴∠AMD+∠CAE=90°，
∴∠ANM=90°，
∴AE⊥BD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．