Question

10．如图，四边形ABCD中∠D=90°，以点D为圆心，AD为半径作⊙D，AB和BC分别切⊙D于点A和点E，若AB=4，DC=10，点M、N分别在线段DC、BC上，且MN=DM，则DM的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 5.5
• D． $\frac{40}{9}$

Answer 1

分析 当MN⊥MC时，MN最小，作BG⊥DC于G，连接DE，证得BG=AD=DE，可证得△BCG≌△DCE，由勾股定理可求得DE，由MN∥DE，可得到△CMN∽△CDE，根据相似三角形的性质即可求得结论．

解答 解：当MN⊥BC时，MN最小，
作BG⊥DC于G，连接DE，
∵AB和BC分别切⊙D于点A和点E，
∴DA⊥AB，∠DEC=90°，
∵∠D=90°，
则BG=AD=DE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGC=∠DEC}\\{∠C=∠C}\\{BG=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴BC=DC=10，∵BE=AB=4，
∴CE=6，∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
∵DE⊥BC，MN⊥BC，
∴MN∥DE，
∴△CMN∽△CDE，
∴$\frac{CM}{CD}=\frac{MN}{DE}$，
设DM=MN=x，
则MC=10=x，
∴$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$，
解得：x=$\frac{40}{9}$，
即DM的最小值为$\frac{40}{9}$，
故选D．

点评 本题主要考查了切线的性质全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的性质和正确作出辅助线．