阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1.在△ABC(∠BAC是一个可以变化的角).AB=2.AC=4.以BC为边在BC的下方作等边△PBC.求AP的最大值．小明是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A'BC.连接A'A.当点A落在A'C上时.此题可解(1)请你回答:AP的最大值是6．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（∠BAC是一个可以变化的角），AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A'BC，连接A'A，当点A落在A'C上时，此题可解（如图2）
（1）请你回答：AP的最大值是6．
参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，等腰 Rt△ABC，边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是多少？为什么？（结果可以不化简）
提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的作法，把△ABP绕B点逆时针旋转60°，得到△A'BP'．
（3）如图4，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，则S_△AOC+S_△AOB=6+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．

分析（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，根据三角形三边关系可求得A′C，进而得到AP的最大值；
（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，P'A′+P'B+PC最短，即线段A'C最短，然后通过作辅助线构造Rt△A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理求线段A′C的长度；
（3）运用旋转变换，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O'点，根据S_△AOC+S_△AOB=S_{四边形AOCO}'=S_△COO'+S_△AOO'进行求解即可．

解答解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C，
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC=6，即AP＜6，
当点A′、A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，
∴AP的最大值是：6，
故答案是：6．

（2）AP+BP+CP的最小值是2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．
理由：如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B，则
A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵当A'、P'、P、C四点共线时，P'A+P'B+PC最短，即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，
∴A'C长度即为所求．
过A'作A'D⊥CB延长线于D．
∵由旋转可知，∠A'BA=60°，
∴∠1=30°．
∵A'B=4，
∴A'D=2，BD=2$\sqrt{3}$，
∴CD=4+2$\sqrt{3}$．
在Rt△A'DC中，A'C=$\sqrt{A′{D}^{2}+D{C}^{2}}$
=$\sqrt{{2}^{2}+（4+2\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$
=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+2×2\sqrt{2}×2\sqrt{6}+（2\sqrt{6}）^{2}}$
=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$，
∴AP+BP+CP的最小值是：2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$（或$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$）．

（3）如图4，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至带你O'，连接OO'，则
△AOO'是边长为3的等边三角形，△COO'是边长为3、4、5的直角三角形，
∴S_△AOC+S_△AOB=S_{四边形AOCO}'=S_△COO'+S_△AOO'=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}\sqrt{3}$=6+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．
故答案为：6+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．