Question

12．已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx²+（2k+1）x+2（k为正整数）图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；
（3）已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；
（2）通过解kx²+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x²+3x+2，结合图象回答问题．
（3）根据题意得到kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

解答 （1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=-2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx²+（2k+1）x+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1．
∴该抛物线解析式为y=x²+3x+2；
（3）依题意得kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+2=0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（-2，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．