Question

18．在△ABC中，AB=AC，BD=AE，∠B=∠DEC，求证：AD=CD．

Answer 1

分析 作DF∥BC交AC于F，连接BF，由平行线的性质得出∠AFD=∠ACB，∠ADF=∠ABC，再由等腰三角形的性质和已知条件得出∠AFD=∠DEC=∠ADF，证出DE=DF，∠AED=∠BDF，由SAS证明△ADE≌△BFD，得出∠A=∠DBF，证明B、C、F、D四点共圆，由圆周角定理得出∠DBF=∠DCF，因此∠A=∠DCF，即可得出AD=CD．

解答 证明：作DF∥BC交AC于F，连接BF，如图所示：
则∠AFD=∠ACB，∠ADF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AFD=∠ABC，
∵∠B=∠DEC，
∴∠AFD=∠DEC=∠ADF，
∴DE=DF，∠AED=∠BDF，
在△ADE和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}&{\;}\\{∠AED=∩BDF}&{\;}\\{DE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFD（SAS），
∴∠A=∠DBF，
∵DF∥BC，
∴∠ABC+∠BDF=180°，
∴∠ACB+∠BDF=180°，
∴B、C、F、D四点共圆，
∴∠DBF=∠DCF，
∴∠A=∠DCF，
∴AD=CD．

点评 本题考查了四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等和四点共圆才能得出结论．