Question

7．【阅读】如图（1），点P在射线ON上，点A、B在射线OM上，且满足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{OP}$，若将△POB沿ON翻折至△POB′处，点B′落在射线OS上，则称∠APB′是∠MOS的伴随角．
【理解】
（1）如图（2），已知∠MON=45°，∠APB′是∠MOS的伴随角，则∠APB′=135°°．
（2）如图（1），已知∠MOS=α（0°＜α＜90°），OP=3，若∠APB′是∠MOS的伴随角，连接AB′，则△AOB′的面积为$\frac{9}{2}$sinα（用含α的三角函数表示）．
【尝试】
（3）如图（3），点P是平面直角坐标系中一点，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，当点P的坐标为多少时，∠APB是∠AOB的伴随角．
（4）如图（4），点P是函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）图象上的一个动点，直线AB与x正半轴、y正半轴分别交于点A、B，且OA+OB=5，当∠APB是∠AOB的伴随角时，求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠APB′+$\frac{1}{2}$∠MOS=180°，利用这个结论即可解决问题．
（2）如图2中，连接AB′，作B′H⊥OM于H．由OB•OA=OB′•OA=OP²=9，S_△AOB′=$\frac{1}{2}$•OA•B′H=$\frac{1}{2}$•OA•OB′•sinα即可解决问题．
（3））如图3中，作射线OP，PH⊥OA于H．由直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，推出A（4，0），B（0，2），OA=4，OB=2，由∠APB是∠AOB的伴随角，推出OP平分∠AOB，OP²=OB•OA=8，在Rt△OPH中，求出OH、PH即可．
（4）如图4中，设OA=m，则OB=5-m，射线求出点P坐标，根据OP²=OA•OB，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图1中，∵$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{OP}$，∠POB=∠POA，
∴△POB∽△AOP，
∴∠OPB=∠OAP，
∵△OPB′是由△OPB翻折得到，
∴∠OPB′=∠OPB，∠POB=∠POB′
∴∠APB′+$\frac{1}{2}$∠MOS=∠OPA+∠OAP+∠POA=180°，
（1）如图2中，

∵∠APB′是∠MOS的伴随角，
∴∠APB′+$\frac{1}{2}$∠MOS=180°，
∵∠MON=$\frac{1}{2}$∠MOS=45°，
∴∠APB′=135°，
故答案为135°．

（2）如图2中，连接AB′，作B′H⊥OM于H．

∵OB•OA=OB′•OA=OP²=9，
∴S_△AOB′=$\frac{1}{2}$•OA•B′H=$\frac{1}{2}$•OA•OB′•sinα=$\frac{9}{2}$sinα，
故答案为$\frac{9}{2}$sinα．

（3）如图3中，作射线OP，PH⊥OA于H．

∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵∠APB是∠AOB的伴随角，
∴OP平分∠AOB，OP²=OB•OA=8，
∴OP=2$\sqrt{2}$，∠POH=∠OPH=45°，
∴OH=OP=2，
∴P（2，2）．

（4）如图4中，设OA=m，则OB=5-m，

∵∠APB是∠AOB的伴随角，
∴OP平分∠AOB，OP²=OA•OB，
∵点P在y=$\frac{3}{x}$上，
∴P（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），OP=$\sqrt{6}$
∴m（5-m）=6，
∴m=2或3，
∴A（2，0），B（0，3）或A（3，0），B（0，2），
∴直线A的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2或y=-$\frac{3}{2}$x+3．

点评 本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形，属于中考创新题目．