Question

6．探究一：如图①，点E，D分别是正△ABC的边CB，AC延长线上的点，连接AE，DB，延长DB交AE于点F，已知△ABE≌△BCD．
（1）写出所有与∠BAE相等的角，并说明理由．
（2）求∠AFB的度数．
探究二：如图②，点E，D分别是正五边形ABCMN的边CB，MC延长线上的点，连结AE，DB，延长DB交AE于点F，若△ABE≌△BCD，则∠AFB的大小为108°度．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠CBD，于是得到∠BAE=∠EBF；
（2）根据全等三角形的性质得到∠E=∠D，推出∠AFB=∠ACB，得到△ABC是等边三角形，求得∠ACB=60°，于是得到结论；
（3）由五边形ABCMN是正五边形，得到AB=BC，∠ABC=∠BCM=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，根据全等三角形的性质得到∠E=∠D，于是得到结论．

解答 解：（1）与∠BAE相等的交有∠CBD，∠EBF，
理由：∵△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠CBD=∠EBF，
∴∠BAE=∠EBF；
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠AFB=∠E+∠EBF，∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠AFB=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠AFB=60°；（3）∵四边形ABCMN是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-108°=72°，
在△ABE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=108°，
故答案为：108°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、正多边形的性质、三角形内角和定理、邻补角以及多边形内角与外角，解题的关键是：（1）通过全等三角形的性质结合角的计算找出∠AFB=∠ACB；（2）根据多边形内角和定理以及正多边形的性质找出每个内角的度数．