Question

16．设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁与x₂，则：
1．x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
2.$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{b}{c}$．
3．x₁²+x₂²=$\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$．
4．x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{bc}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系，即可得出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$；
（2）将x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$中，即可求出结论；
（3）将x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂中，即可求出结论；
（4）将x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂•（x₁+x₂）中，即可求出结论．

解答 解：1、∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁与x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
故答案为：-$\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$．
2、∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{b}{c}$．
故答案为：-$\frac{b}{c}$．
3、∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$．
故答案为：$\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$．
4、∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂•（x₁+x₂）=-$\frac{bc}{{a}^{2}}$．
故答案为：-$\frac{bc}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于-$\frac{b}{a}$、两根之积等于$\frac{c}{a}$是解题的关键．