题目内容
16．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F两点分别在AC，BC边上运动 （点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF不可能为正方形；
②△DFE是等腰直角三角形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$．
其中正确结论有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 ①当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
②作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通过等量代换就可以求出结论；
④△DEF是等腰直角三角形，$\sqrt{2}$DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2$\sqrt{2}$，此时点C到线段EF的最大距离．
解答 解：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，
所以四边形CEDF可以为正方形，故选项①错误；
连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故选项②正确；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF．
∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，
∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED，
∴S四边形CEDF=S△ADC．
∵S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC=4．
∴四边形CEDF的面积是定值4，
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化，故选项③错误；
④设C到EF的距离为d，CF=x，
∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距离为$\frac{1}{2}$，
又四边形CEDF的面积是定值4，
故S四边形CEDF=S△CEF+S△FED=$\frac{EF}{2}$=4
d=$\frac{8}{EF}$，当EF越小，则减数越大，被减数越小，d越大；
由勾股定理可知EF2=x2+（4-x）2=2（x-2）2+8（0＜x＜4）
故x=2时，EF取最小值=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
代入解得：d=$\sqrt{2}$．故选项④正确．
故选B．
点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
如图，在直角坐标系中，点A是反比例函数y=$\frac{2}{x}$图象在第一象限上的一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y=$\frac{4}{x}$图象于点B，当点A的横坐标逐渐增大时，则△ABO的面积变化情况是（ ）
