Question

14．如图，△ABC，△ADE为等边三角形，F、G分别是BE、CD的中点，AH是△ACD的高，求证：FG=FH．

Answer 1

分析 分别取AB、AC、AD、AE的中点M、N、P、Q，连接FQ、PQ、PF、MN、FN、PN、NG、PH．只要证明△FMN≌△PQF，可得FN=FP，再证明四边形PNGH是等腰梯形，推出∠GNP=∠HPN，由∠FNP=∠FPN，可得∠FNG=∠FPH，即可证明△FNG≌△FPH，由此即可解决问题．

解答 证明：分别取AB、AC、AD、AE的中点M、N、P、Q，连接FQ、PQ、PF、MN、FN、PN、NG、PH．

易证MF=AQ=PQ，MN=AM=FQ，四边形FMAQ是平行四边形，
∴∠FMA=∠FQA，∵∠AMN=∠AQP=60°，
∴∠FMA+∠AMN=∠FQA+∠AQP，
即∠FMN=∠FQP，
∴△FMN≌△PQF，
∴FN=FP，
∵NG=PH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥PN，
∴四边形PNGH是等腰梯形，
∴∠GNP=∠HPN，∵∠FNP=∠FPN，
∴∠FNG=∠FPH，
∴△FNG≌△FPH．
∴FG=FH．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰梯形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题，题目比较难，辅助线比较多．