Question

7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，AD=2，BC=4，△MBC是等边三角形．
（1）求证：AB=CD；
（2）动点P，Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变，设PC=x，MQ=y，求y与x之间的函数关系；
（3）在（2）中当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两点为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）先根据SAS得出△AMB与△DMC全等，再利用全等三角形的性质求出AB=DC；
（2）先根据相似三角形的判定得出△BMP与△CPQ相似，再利用相似三角形的性质列出方程求出关系式．
（3）根据平行四边形分情况讨论即可．

解答 （1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中点，
∴AM=MD，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC；

（2）在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴$\frac{PC}{BM}=\frac{CQ}{BP}$，
令PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y，
∴$\frac{x}{4}=\frac{4-y}{4-x}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-x+4=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3；

（3）当BP=1时，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，则四边形ABPM四边形MBPD均为平行四边形．
当BP=3时，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形．
∴当BP=1或BP=3时，以点P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．

点评 此题主要考查三角形的全等相似性质以及平行四边形的判定，关键全等三角形的判定和根据相似三角形性质得出关系式．