Question

20．正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，
点A₁，A₂，A₃，…和点C₁，C₂，C₃，…分别在直线y=x+1和x轴上．
（1）填写下列各点的坐标：B₁（1，1），B₂（3，2），B₃（7，4）；
（2）写出点B_n的坐标（n是正整数）；
（3）如果记正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…的面积分别为S₁，S₂，S₃…，请求出S₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）先求出直线y=x+1与y轴的交点坐标和与x轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，再得出第二个正方形的边长，即可求出A₂的坐标和点B₁的坐标，B₂的坐标、B₃的坐标；
（2）由（1）得出规律，即可得出点B_n的坐标；
（3）先求出第一个正方形和第二个正方形的面积，…，得出规律，即可得出结果．

解答 解：（1）∵对于直线y=x+1，当y=0时，x=1，；当x=0时，y=-1，
∴直线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-1，0），
∴OA₁=1，OB=1，∵∠BOA₁=90°，
∴∠OBA₁=∠OA₁B=45°，
∵四边形A₁B₁C₁O、四边形A₂B₂C₂C₁是正方形，
∴A₁B₁=A₂B₁═OA₁=1，
∴A₂C₁=1+1=2，同理：A₃C₂=4，…，
∴A₂的坐标是：（1，2），点B₁的坐标为（1，1），
∵点A₁，A₂，A₃，…在直线y=x+1（k＞0），
∵C₂的横坐标是3，A₂的纵坐标为2，…，
∴B₂的坐标为（3，2），B₃（7，4）；
故答案为1，1；3，2；7，4；
（2）∴在直线y=x+1中，令x=3，则A₃纵坐标是：3+1=4，
∴B₃的横坐标为1+2+4=7=2³-1，纵坐标为4=2²，
∴Bn的横坐标是：2ⁿ-1，纵坐标是：2^n-1，
∴点B_n的坐标为（2ⁿ-1，2^n-1）；
（3）∵S₁=1²=1，S₂=2²=（2¹）²，S₃=4²=（2²）²，…，
∴S_n=（2^n-1）²=2^2n-2，
∴S₂₀₁₅=2²⁰²⁸．

点评 本题考查了正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征；根据点的坐标和正方形的面积得出规律是解决问题的关键．