Question

5．如图，已知B₁（1，y₁），B₂（2，y₂）B₃（3，y₃）…在直线y=2x+3上，在x轴上取点A₁，使OA₁=a（0＜a＜1）；作等腰△A₁B₁A₂面积为S₁，等腰△A₂B₂A₃面积为S₂…；求S₂₀₁₇-S₂₀₁₆=4037-8072a．

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征，求得点B₁、B₂、B₃的纵坐标，然后由三角形的面积公式求得S₁，S₂…S_n；由此得出规律，即可求得S₂₀₁₇-S₂₀₁₆的值．

解答 解：∵B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、B₃（3，y₃），…，在直线y=2x+3上，
∴y₁=2×1+3=5，y₂=2×2+3=7，y₃=2×3+3=9，y₄=2×4+3=11，…，y_n=2n+3；
又∵OA₁=a（0＜a＜1），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×2×（1-a）×5=5（1-a）；
S₂=$\frac{1}{2}$×2×[2-a-2×（1-a）]×7=7a；
S₃=$\frac{1}{2}$×2×{3-a-2×（1-a）-2×[2-a-2×（1-a）]}×9=9（1-a）；
S₄=$\frac{1}{2}$×2×[1-（1-a）]×11=11a；
…
∴S_n=（2n+3）（1-a）（n是奇数）；S_n=（2n+3）a（n是偶数），
∴S₂₀₁₇-S₂₀₁₆=（2×2017+3）（1-a）-（2×2016+3）a=4037-8072a．
故答案是：4037-8072a．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质的综合应用．解答此题的关键是根据已知条件找出规律：S_n=（2n+3）（1-a）（n是奇数）；S_n=（2n+3）a（n是偶数）．