Question

16．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，点P从点A出发（不含点A），沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发（不含点B），沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，已知点P每秒比点Q每秒多运动1cm，当其中一点到达点D（不含点D）时，另一点停止运动．
（1）求P、Q两点的速度；
（2）当其中一点到达点D时，另一点距离D点1cm（直接写答案）；
（3）设点P、Q的运动时间为t（x），请用含t的代数式表示△APQ的面积为S（cm³），并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出P、Q两点的速度之比，列出方程，解方程即可；
（2）根据题意分别求出点P到达点D和点Q到达点D所需的时间，计算即可；
（3）分0≤t≤2、2＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t≤5三个范围，根据三角形的面积公式解答即可．

解答 解：（1）∵当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，
∴P、Q两点的速度之比为：6：4=3：2，
设点P的速度是3xcm/s，则点Q的速度是2xcm/s，
由题意得，3x-2x=1，
解得，x=1，
∴点P的速度是3cm/s，则点Q的速度是2cm/s；
（2）点P到达点D所需的时间为：（6+4+6）÷3=$\frac{16}{3}$s，
点Q到达点D所需的时间为：（6+4）÷2=5s，
∴点Q先到达点D，
则点P距离D点16-3×5=1cm，
故答案为：1；
（3）当0≤t≤2时，AP=3t，BQ=2t，
∴△APQ的面积为S=$\frac{1}{2}$×AP×BQ=3t²，
当2＜t≤$\frac{10}{3}$时，BP=3t-6，CP=10-3t，CQ=2t-4，QD=10-2t，
∴△APQ的面积为S=6×4-$\frac{1}{2}$×6×（3t-6）-$\frac{1}{2}$×4×（10-2t）-$\frac{1}{2}$×（10-3t）×（2t-4）=3t²-21t+42，
当$\frac{10}{3}$＜t≤5时，PQ=6-（3t-10）-[6-（2t-4）]=6-t，
∴△APQ的面积为S=$\frac{1}{2}$×PQ×AD=12-2t．

点评 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．