Question

如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，点E是BC延长线上一点，CF⊥DE交DE于F，交AB于G，
（1）求证：△DCE≌△CBG．
（2）EO与OG垂直吗？请说明理由．
（3）张聪同学在研究这道几何题时，他猜想当E点沿直线CB向B点运动而其余条件不变时，（1）（2）问的结论仍然成立．请帮助张聪同学画出当E点运动到线段上而其余条件不变时的图形，并标上字母．你认为他的猜想对吗？（简要说明理由）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，再根据同角的余角相等求出∠CDE=∠BCG，然后利用“角边角”证明△DCE和△CBG全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，再利用“边角边”证明△BOG和△COE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BOG=∠COE，从而求出∠EOG=∠BOC，再根据正方形的对角线互相垂直证明即可；
（3）证明方法与（1）（2）完全相同．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，
∵CF⊥DE，
∴∠CDE+∠DCF=90°，
∵∠DCF+∠BCG=180°-90°=90°，
∴∠CDE=∠BCG，
在△DCE和△CBG中，

∠CDE=∠BCG BC=CD ∠DCE=∠CBG=90°

，
∴△DCE≌△CBG（ASA）；

（2）解：∵△DCE≌△CBG，
∴BG=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠BCO=45°，OB=OC，
∴∠OBG=∠OCE=135°，
在△BOG和△COE中，

OB=OC ∠OBG=∠OCE BG=CE

，
∴△BOG≌△COE（SAS），
∴∠BOG=∠COE，
∴∠EOG=∠BOC=90°，
∴EO⊥OG；

（3）解：结论仍然成立．
理由如下：如图，同（1）可证△DCE≌△CBG，
同（2）可证△BOG≌△COE，
∴∠BOG=∠COE，
∴∠EOG=∠BOC=90°，
∴EO⊥OG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，难点在于（2）也要证明三角形全等．