Question

如图，四边形ABCD为正方形，△ABP≌△CBP′，∠PBP′=90°，若PA²+PC²=2PB²．证明：P在对角线AC上．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接PP′，根据全等三角形对应边相等，PA=P′C，PB=P′B，全等三角形对应角相等可得∠BAP=∠BCP′，然后判断出△PBP′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得PP′=

2

PB，然后根据勾股定理逆定理判断出△PP′C是直角三角形，∠PCP′=90°，根据同角的余角相等求出∠BCP′=∠PCD，从而得到∠BAP=∠PCD，然后利用两直线平行，内错角相等可得点A、P、C三点共线，即点P在对角线AC上．

解答：证明：如图，连接PP′，
∵△ABP≌△CBP′，
∴PA=P′C，PB=P′B，∠BAP=∠BCP′，
∵∠PBP′=90°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PB，
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴△PP′C是直角三角形，∠PCP′=90°，
又∵∠PCD+∠PCB=∠BCP′+∠PCB=90°，
∴∠BCP′=∠PCD，
∴∠BAP=∠PCD，
又∵AB∥CD，
∴点A、P、C三点共线，
∴P在对角线AC上．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作辅助线构造成直角三角形并最后求出∠BAP=∠PCD是解题的关键．