题目内容
13．
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点D（-3，2），B（1，0），CD∥x轴，将正方形ABCD向右平移m个单位，得正方形A′B′C′D′．当 m=4时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象过线段C′D′的中点E，与线段B′C′交于点F．（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的解析式．
（2）平移过程中，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象分别与线段C′D′、B′C′同时有交点．直接写出m的取值范围3≤m≤5；其中，当m=4时，点D′的坐标为（1，2）．
（3）反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上是否存在点P，使得△EFP的面积等于△EFC′的面积？若存在求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
分析 （1）先求出E点坐标，代入反比例函数的解析式即可；
（2）根据反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象过点C′时m最小，经过点D′时m最大即可得出结论；
（3）先利用待定系数法求出直线EF的解析式，再求出过点C′且与直线EF平行的直线，根据同底等高的三角形面积相等求求出此直线与反比例函数的交点即可得出结论．
解答 解：（1）∵点E恰为线段C′D′的中点，
∴C′（3，2），D′（1，2），
∴点E（2，2），
把E（2，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0），得k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（2）∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象分别与线段C′D′、B′C′同时有交点，
∴反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象过点C′，
∵点C′的纵坐标为2，
∴x=2，
∴C′（2，2）．
∵C（-1，2），
∴m=3．
当点D′移动到（2，2）时，m最大．
∵D（-3，2），
∴m=2+3=5，
∴3≤m≤5；
∵D（-3，2），
∴当m=4时．-3+4=1，
∴D（1，2）．
故答案为：3≤m≤5，（1，2）；
（3）存在．
理由：如图所示，设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点E（2，2），点F（3，$\frac{4}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=2k+b\\ \frac{4}{3}=3k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，
∴直线EF解析式y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$．
过C′点与EF平行的直线y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x+4\\ y=\frac{4}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=3+\sqrt{3}\\{x}_{2}=3-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∵当x=3+$\sqrt{3}$时，y=$\frac{4}{3+\sqrt{3}}$=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；当x=3-$\sqrt{3}$时，y=$\frac{4}{3-\sqrt{3}}$=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P（3+$\sqrt{3}$，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），P′（3-$\sqrt{3}$，2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质及待定系数法求一次函数的解析式等知识，难度适中．
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案
如图，△ABC内接于⊙O，AB为O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=3，则AC=$\sqrt{3}$．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为π．
已知抛物线y=ax2-4ax+3和直线y=bx-4b+3相交于一定点A．
如图所示的图象是抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分，它与x轴的一个交点A的坐标是（-3，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）．
如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象交于A（1，a），B（3，1）两点．