如图.在平面直角坐标系中.四边形OABC是矩形.OA=3.AB=4.将线段OA绕点O顺时针旋转90°.使点A落在OC边上的点E处.抛物线y=ax2+bx+c过A.E.B三点．(1)求抛物线的解析式,(2)若M为抛物线的对称轴上一动点.当△MBE的周长最小时.求M点的坐标,(3)点P从A点出发.以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动.同时点Q从点B出发.以每秒1个单位长度的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=3，AB=4，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，使点A落在OC边上的点E处，抛物线y=ax²+bx+c过A、E、B三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线的对称轴上一动点，当△MBE的周长最小时，求M点的坐标；
（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BO向点O运动．P点到达终点B时，Q点同时停止运动，运动时间为t（秒）．若△PBQ是等腰三角形，求t的值．

分析（1）根据矩形的性质及OE=OA得出点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解可得；
（2）根据M为直线AE与对称轴x=2的交点时，ME+MB的值最小，即△MBE的周长最小，分别求出直线AE的解析式，从而得出直线AE与对称轴x=2的交点即可得；
（3）分BP=BQ、QP=QB、QP=PB三种情况依据相似三角形的性质得出关于t的方程，求解可得答案．

解答解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，AB=4，
∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．
又∵OE=OA=3，
∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，E三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵点A，B关于直线x=2对称，
∴M为直线AE与对称轴x=2的交点时，ME+MB的值最小，而BE的长一定，此时△MBE的周长最小．
设直线AE的解析式为y=kx+m，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{3k+m=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3．
当x=2时，y=1，
∴M点的坐标为（2，1）；

（3）由题意知PB=4-t，BQ=t，
①若BP=BQ，则4-t=t，
解得：t=2；
②若QP=QB，如图1，作QD⊥AB于D，则BD=$\frac{4-t}{2}$，

∵∠QDB=∠OAB=90°，∠QBD=∠OBA，
∴△QDB∽△OAB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BQ}{BO}$，即$\frac{\frac{4-t}{2}}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得：t=$\frac{20}{13}$；
③若QP=PB，如图2，作PE⊥QB于E，则BE=$\frac{t}{2}$，

∵∠PEB=∠OAB=90°，∠PBE=∠OBA，
∴△PBE∽△OAB，
∴$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{4-t}{5}$=$\frac{\frac{t}{2}}{5}$，
解得：t=$\frac{32}{13}$；
综上，△PBQ是等腰三角形时，t的值为2或$\frac{20}{13}$或$\frac{32}{13}$．