Question

12．我们将1×2×3×…×n记作n！（读作n的阶乘），如：2！=1×2，3！=1×2×3，4！=1×2×3×4，若设S=1×1！+2×2！+3×3！+…+2016×2016！，则S除以2017的余数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 1008
• D． 2016

Answer 1

分析 由（n+1）！=1×2×3×…×n×（n+1）=（n+1）×n！=n×n！+n！知，可将原式两边都加上1！+2！+3！+…+2016！，即可得S=2017！-1，所以S除以2017的余数是-1，再根据2017！能被2017整除，求出S除以2017的余数是多少即可．

解答 解：∵（n+1）！=1×2×3×…×n×（n+1）=（n+1）×n！=n×n！+n！，
∴S+1！+2！+3！+…+2016！=1×1！+2×2！+3×3！+…+2016×2016！+1！+2！+3！+…+2016！，
即S+1！+2！+3！+…+2016！=1！+2！+3！+…+2017！，
则S=2017！-1，
∵2017!能被2017整除，
∴S与1的和能被2017整除，
∴S除以2017的余数是：2017-1=2016．
故选：D．

点评 本题考查规律型：数字的变化类，解答此类问题的关键是弄清新定义，得出（n+1）！=（n+1）×n！=n×n！+n！的数据变化的规律是解题的关键．