Question

1．在平面直角坐标系xOy中，A（-m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90°，
（1）线段OP的长等于m（用含m的代数式表示）；
（2）m的最小值为3．

Answer 1

分析 （1）根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果；
（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；根据勾股定理求出OC，即可得出结果．

解答 解：（1）∵∠APB=90°，A（-m，0），B（m，0），
∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，
∴OP=$\frac{1}{2}$ AB=OB=m；
故答案为：m；
（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；
作CM⊥x轴于M，如图所示：
则∠OMC=90°，
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OP=5-2=3；
故答案为：3．

点评 本题考查了坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）中需要通过作辅助线得出当P为OC与⊙C的交点时，OP最小是解决问题的关键．