Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，连接EC，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，延长BD至H，使DH=DN，连接NH．求证：
（1）△EBC是等边三角形；
（2）AD=DG-DN．

Answer 1

分析 （1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．

解答 （1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）解：∵∠A=30°，由（1）得DA=DB，．
又∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°，
∴∠4=∠5=60°，
又∵DH=DN
∴△NDH是等边三角形．…（4分）
∴NH=ND，∠H=∠6=60°，
∴∠H=∠2，
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7，
即∠DNG=∠HNB，
在△DNG和△HNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=HN}\\{∠DNG=∠HNB}\\{∠2=∠H}\end{array}\right.$，
∴△DNG≌△HNB（ASA），
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=DN+AD，
∴DG=DN+AD．
∴AD=DG-DN．

点评 此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．