Question

17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）求证：DF=DE；
（2）连接EF，若BE=8，CF=6，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD．只要证明△CDF≌△ADE（ASA）即可解决问题．
（2）连接EF，在RT△AEF中，求出FE，再根据等腰直角三角形的性质求出DE、DF即可解决问题．

解答 （1）证明：连接AD．
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵∠BAC=90°，
∴AD=CD=BD，∠C=∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF，
∴∠CDF=∠ADE，
在△CDF和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}∠C=∠DAE\\ CD=AD\\∠CDF=∠ADE\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF=DE．

（2）连接EF．由（1）知，AE=CF=6，同理AF=BE=8   
∵∠EAF=90°
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵DE=DF，DE⊥DF
∴△DEF为等腰三角形
∴DE²+DF²=EF²=100
∴DE=DF=5$\sqrt{2}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•（5$\sqrt{2}$）²=25．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．