Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D在BC上一点，AC=2，CD=1，记∠CAD=α．
（1）试写出a的三个三角函数值；
（2）若∠B=α，求BD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）在直角三角形ACD中，由AC与CD的长求出AD的长，利用锐角三角函数定义求出α的三个三角函数值即可；
（2）由∠CAD=∠B=α，且一对公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ACD与三角形BCA相似，由相似得比例，求出BD的长即可．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，AC=2，CD=1，
根据勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

5

，
则sinα=

CD

AD

=

5

5

，cosα=

AC

AD

=

2 5

5

，tanα=

1

2

；
（2）∵∠CAD=∠B=α，∠C=∠C=90°，
∴△ACD∽△BCA，
设BD=x，则BC=x+1，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，即

2

x+1

=

1

2

，
解得：x=3，
则BD=3．

点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．