Question

如图，AB是半圆O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，点E、F是垂足，若BF交半圆于点G，求证：
（1）EC=FD．
（2）

AC

=

DG

．

Answer 1

考点：垂径定理,梯形中位线定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）过点O作OH⊥EF于点H，根据AE⊥CD，BF⊥CD，OH⊥CD可知AE∥OH∥BF，再根据点O是AB的中点得出OH是梯形ABFE的中位线，故EH=FH，再由垂径定理得出CH=DH，故可得出结论；
（2）连接AC、AD、AG、DG，由AB是圆O的直径得出∠AGB=90°．再根据AE⊥CD，BF⊥CD，E，F分别为垂足，可知四边形AEFG是矩形，故AE=GF，EF∥AG，∠ADE=∠DAG，由此可得出结论．

解答：（1）证明：过点O作OH⊥EF于点H，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OH⊥CD，
∴AE∥OH∥BF．
∵点O是AB的中点，
∴OH是梯形ABFE的中位线，
∴EH=FH．
∵点O过圆心，
∴CH=DH，
∴EC=FD．

（2）证明：连接AC、AD、AG、DG，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AGB=90°．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，E，F分别为垂足，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE=GF，EF∥AG，
∴∠ADE=∠DAG，
∴

AC

=

DG

．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．