Question

7．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D过A的切线交BE的延长线于F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若$\frac{AO}{AF}$=$\frac{2}{3}$，求tan∠ODA的值．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由点E为弧AC的中点，得到∠ABE=∠CBE，由AF是⊙O的切线，得到∠BAF=90°，根据余角的性质得到∠BDC=∠F，等量代换得到∠ADE=∠F，于是得到结论；
（2）连接AE，由AB是⊙O的直径，得到AE⊥BF，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠FAE，根据平行线的性质得到∠DAE=∠ADO，根据已知条件设AO=2x，AF=3x，勾股定理得到BF=5x，根据射影定理得到EF=$\frac{A{F}^{2}}{BF}$=$\frac{16}{5}$x，根据三角形的面积公式得到AE=$\frac{12}{5}$x，于是得到结论．

解答 解：（1）连接BC，
∵点E为弧AC的中点，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF=90°，
∴∠ABF+∠F=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBD=∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠F，
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠ADE=∠F，
∴AD=AF；
（2）连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BF，
∴∠DAE=∠FAE，
∵OD⊥BE，
∴OD∥AE，
∴∠DAE=∠ADO，
∴∠FAE=∠ODA，
∵$\frac{AO}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
设AO=2x，AF=3x，
∴AB=4x，
∴BF=5x，
∵∠BAF=90°，AE⊥BF，
∴AF²=EF•BF，
∴EF=$\frac{A{F}^{2}}{BF}$=$\frac{16}{5}$x，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AB•AF=$\frac{1}{2}$BF•AE，
∴AE=$\frac{12}{5}$x，
∴tan∠ODA=tan∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理，射影定理，三角形的面积公式，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．