Question

4．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}\\{∠EAF=∠CDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．