Question

如图，已知△ABC中∠BAC=135°，点E，点F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，BE=12，CF=9．
（1）判断△EAF的形状，并说明理由；
（2）求△EAF的周长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，AF=CF，再由∠BAC=135°得出∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-135°=45°，故∠BAE+∠CAF=45°，∠EAF=135°-45°=90°由此可得出结论；
（2）由（1）知△EAF是直角三角形，再根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．

解答：解：（1）△EAF为直角三角形．
∵EM是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠BAE=∠B．
∵FN是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C．
∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-135°=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=135°-45°=90°，
∴△EAF为直角三角形；

（2）在△EAF中，
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²，
∵BE=4，CF=3，
∴EF²=4²+3²=25，
∴EF=5，
∴△EAF的周长=12．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．