Question

4．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2x+3y}{4}+\frac{2x-3y}{3}=7}\\{\frac{2x+3y}{3}+\frac{2x-3y}{2}=8}\end{array}}\right.$，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x-3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m=2x+3y，n=2x-3y．
这时原方程组化为$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{4}+\frac{n}{3}=7\\ \frac{m}{3}+\frac{n}{2}=8.\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=60}\\{n=-24}\end{array}}\right.$
把$\left\{{\begin{array}{l}{m=60}\\{n=-24}\end{array}}\right.$代入m=2x+3y，n=2x-3y．
得$\left\{{\begin{array}{l}{2x+3y=60}\\{2x-3y=-24}\end{array}}\right.$解得 $\left\{{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=14}\end{array}}\right.$
所以，原方程组的解为$\left\{{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=14}\end{array}}\right.$
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{6}+\frac{x-y}{10}=3\\ \frac{x+y}{6}-\frac{x-y}{10}=-1.\end{array}\right.$
（2）若方程组$\left\{\begin{array}{l}{a_1}x+{b_1}y={c_{1，}}\\{a_2}x+{b_2}y={c_{2．}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2.\end{array}\right.$，求方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{6}{a_1}x+\frac{1}{3}{b_1}y={c_{1，}}\\ \frac{5}{6}{a_2}x+\frac{1}{3}{b_2}y={c_2}.\end{array}\right.$的解．

Answer 1

分析 （1）令m=$\frac{x+y}{6}$，n=$\frac{x-y}{10}$，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令m=$\frac{5}{6}$x，n=$\frac{1}{3}$y，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．

解答 解：（1）令m=$\frac{x+y}{6}$，n=$\frac{x-y}{10}$，
原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l}m+n=3\\ m-n=-1.\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=2.\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{6}=1\\ \frac{x-y}{10}=2.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=-7.\end{array}\right.$
∴原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=-7.\end{array}\right.$；
（2）令m=$\frac{5}{6}$x，n=$\frac{1}{3}$y，
原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l}{a_1}m+{b_1}n={c_1}\\{a_2}m+{b_2}n={c_2}.\end{array}\right.$，
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=2.\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{6}x=3\\ \frac{1}{3}y=2.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{18}{5}\\ y=6.\end{array}\right.$．

点评 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．