Question

15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，设落点为E，折痕MN与DE相交于Q．
（1）若E是BC的中点，求DN的长；
（2）比较线段DE与MN的大小，并说明理由；
（3）若点G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，请直接写出△GQE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△NEC中，利用勾股定理列方程可得DN的长；
（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，证明△MNG≌△DEC（AAS），那么MN=DE．
（3）如图2，取AD的中点P，根据两点之间线段最短得出△GQE周长的最小值．

解答 解：（1）由折叠得：MN是DE的中垂线，
∴DN=EN，
设DN=EN=x，则CN=4-x，
∵E是BC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=2，
在Rt△NEC中，CN²+CE²=EN²，则（4-x）²+2²=x²，
解得：x=2.5，即DN=2.5；
（2）MN=DE，理由是：
如图1，过M点作MG⊥CD，MG交CD于点G，交DE于点H．
由折叠性质可知，DE⊥MN．
∠MHQ+∠HMQ=90°，∠MNG+∠NMG=90°．
则∠MHQ=∠MNG．
又∵MG∥BC．
∴∠MHQ=∠CED．
∴∠MNG=∠DEC．
在△MNG和△DEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠GNM}\\{∠C=∠MGN}\\{CD=MG}\end{array}\right.$．
∴△MNG≌△DEC（AAS）．
那么MN=DE．
（3）如图2，取AD中点P，连接QP、QG、QC，
由折叠的对称性可知，QP=QG，
∵Q为DE中点，△CDE为直角三角形，
∴CQ=$\frac{1}{2}$DE=QE，
∴△GQE的周长=QG+GE+EQ=2+QP+CQ≥2+CP，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当且仅当P、Q、C共线时最小，最小为2+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了折叠的性质、正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、最值问题，第三问有难度，解题的关键是取AD的中点P，确定QG+QE=QP+QC，属于中考常考题型．