Question

在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分．进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线AF．
小明的作图步骤如下：
第一步：连结AC；
第二步：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E；
第三步：取ED中点F，作直线AF；
则直线AF即为所求．
请参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）．请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：如图，构造图形：连结AO，作BM∥AO交x轴于点M；连结AC，作DN∥AC交x轴于点N；取MN的中点F，作AH⊥x轴于点H．通过△BMO∽△AOH的对应边成比例得到：

BO

AH

=

MO

OH

，则易求MO=1.5．同理CN=0.5．所以M（-1.5，0），N（4.5，0），则MN的中点F（1.5，0）．设直线AF的解析式为：y=kx+b（k≠0）．把点A（3，4），F（1.5，0）的坐标分别代入，列出关于k、b的方程组，通过解方程组来求系数k、b的值．

解答：解：如图，连结AO，作BM∥AO交x轴于点M；
连结AC，作DN∥AC交x轴于点N；
取MN的中点F，作AH⊥x轴于点H．
∵BM∥AO，
∴∠BMO=∠AOH．
∵∠BOM=∠AHO=90°，
∴△BMO∽△AOH，
∴

BO

AH

=

MO

OH

，即

2

4

=

MO

3

，
则MO=1.5．
同理 CN=0.5．
∴M（-1.5，0），N（4.5，0），
∴MN的中点F（1.5，0）．
设直线AF的解析式为：y=kx+b（k≠0）．把点A（3，4），F（1.5，0）的坐标代入，得

4=3k+b 0=1.5k+b

，
解得

k= 8 3 b=-4

，
∴直线AF的解析式为：y=

8

3

x-4．

点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识点．需要学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．