Question

如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，并且DE⊥AB，若AB=4，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）由在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，易得△ABD是等边三角形，继而求得∠ABC的度数．
（2）由（1）可求得AD与AE的长，然后由勾股定理求得DE的长，即可得出AO的长；
（3）利用菱形的性质求得菱形ABCD的面积．

解答：解：（1）∵E为AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°；

（2）∵AB=4，
∴AD=AB=4，AE=

1

2

AB=2，
∴DE=

AD2-AE2

=2

3

，
∵△ABD是等边三角形，AO⊥BD，DE⊥AB，
∴AO=DE=2

3

，
∴AC=4

3

；

（3）S_菱形ABCD=AB•DE=4×2

3

=8

3

．

点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．