Question

如图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，点A恰好落在开口向下的抛物线y=ax²上．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）将正方形继续旋转多少度时，可以使点A再次落在此抛物线上？

Answer 1

考点：正方形的性质,二次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：（1）设旋转后的点A的对应点为A′，作A′D⊥x轴于D，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出A′D，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点A′的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据抛物线的对称性，点A再次落在抛物线上时OA与x轴负半轴的夹角为30°，然后求解即可．

解答：解：（1）如图，设旋转后的点A的对应点为A′，作A′D⊥x轴于D，
∵旋转角为30°，
∴∠A′OD=30°，
∴A′D=

1

2

OA′=

1

2

，
由勾股定理得，OD=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴点A′（

3

2

，-

1

2

），
∴a（

3

2

）²=-

1

2

，
解得a=-

2

3

，
∴抛物线解析式为y=-

2

3

x²；

（2）∵抛物线y=-

2

3

x²的对称轴为y轴，
∴点A再次落在抛物线上时OA与x轴负半轴的夹角为30°，
∵180°-30°×2=120°，
∴正方形继续旋转120°．

点评：本题考查了正方形性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，熟记各性质并求出旋转后点A的对应点的坐标是解题的关键．