Question

15．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE⊥BD；
（3）求∠AFB的度数．

Answer 1

分析 （1）先证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ABD=∠ACE，由角的互余关系和对顶角相等得出∠ACE+∠CGF=90°，得出∠BFC=90°即可；
（3）证明A、B、C、F四点共圆，由圆周角定理得出∠AFB=∠ACB=45°即可．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：如图所示：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠AGB=90°，
∵∠AGB=∠CGF，
∴∠ACE+∠CGF=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CE⊥BD；
（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∠BFC=90°，
∴A、B、C、F四点共圆，∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．