Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为D，AN平分∠CAM，CE⊥AN垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：AN∥BC；
（2）求证：四边形ADCE为矩形；
（3）求证：DF∥AB．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，由三角形的外角性质和角平分线的定义得出∠NAC=∠ACB，即可得出结论；
（2）由垂线的定义得出∠ADC=∠AEC=90°，再由平行线的性质得出∠DAE=90°，即可得出结论；
（3）由矩形的性质得出AF=CF，由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD，证出DF为△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，AN平分∠MAC，
∴∠NAC=∠ACB，
∴AN∥BC；
（2）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∵AN∥BC，
∴∠DAE=180°-∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（3）证明：∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥AB．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形中位线定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．