Question

5．由顶点为A的己知角内任意一点M，向角的两边引垂线MP和MQ，过点A向PQ引垂线AK，K是垂足，求证：∠PAK=∠MAQ．

Answer 1

分析 首先根据∠MQA+∠MPA=90°+90°=180°，得到A、Q、M、P四点共圆，从而得到∠APQ=∠AMQ，（同弧圆周角相等），根据AK⊥PQ、∠AKP=∠AQM=90°，、∠PAK=90°-∠APQ，、∠MAQ=90°-∠AMQ即可证得∠PAK=∠MAQ．

解答 证明：∵∠MQA+∠MPA=90°+90°=180°，
∴A、Q、M、P四点共圆，
∴∠APQ=∠AMQ，（同弧圆周角相等），
∵AK⊥PQ，
∠AKP=∠AQM=90°，
∠PAK=90°-∠APQ，
∠MAQ=90°-∠AMQ，
∴∠PAK=∠MAQ．

点评 本题考查了四点共圆的知识，解题的关键是能够了解如何证得四点共圆，难度中等偏上，是一道好题．