Question

19．如图I，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC边于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交O于点D，且∠BDE=∠CBE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长ED交直线AB于点P，如图2，若PA=AO，DE=3，求$\frac{PD}{DE}$的值及AO的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BE．由AB是直径，推出∠AEB=90°，推出∠A+∠ABE=90°，由∠A=∠D=∠EBC推出∠ABE+∠EBC=90°，即∠ABC=90°，由此即可证明；
（2）如图2中，连接OD、BE．首先证明BE∥OD，由PA=OA=OB，推出OP=2OB，即可推出$\frac{PD}{DE}$=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{2}{1}$，由PD•PE=PA•PA，可得3OB²=54，求出OB即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵∠A=∠D=∠EBC，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）如图2中，连接OD、BE．
∵BD平分∠ABE，
∴D 是$\widehat{AE}$的中点，
∴OD⊥AE，∵AE⊥BE，
∴BE∥OD，
∵PA=OA=OB，
∴OP=2OB，
∴$\frac{PD}{DE}$=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{2}{1}$，
∴PD=2DE=6，
∵△PDB∽∠PAF，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PE}{PB}$，
∴PD•PE=PA•PA，
∴3OB²=54，
∴OB=OA=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的判定、垂径定理、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．